上篇文章「CPU原理之逻辑、电路和数学」中介绍了布尔逻辑、数学和电路的关系,我们也得到了与门、或门、非门、或非门、与非门、异或门等门电路以及一个加法器,并且了解了计算机是如何做加法的,这篇文章介绍一下计算机是如何做减法以及乘除法的

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减法

我们先看一下十进制里减法怎么做,存在什么问题?

457减368个位数7减8是不够减的,所以需要向十位借位,17减8等于9。5变成4,4减6又是不够减,向百位借位,14减6等于8。百位3减3等于0,结果是89。这个是我们自己计算减法时候一种很通用的方法,这种方法用计算机处理有两个问题。一个问题是借位,另一个问题是需要掌握20以内的减法。之前的机械计算机减法确实也是这么做的,不过随着历史的车轮滚滚前行,计算机的发展过程中人才辈出,还是有人发现了另外一种计算减法的简单方法-补码,成功的把减法当成了加法来处理。

 

我们来看一下,457 – 368等于457 + (1000 – 368) – 1000。1000 – 368等于632。632就是368在10进制数里的补码。457+632 = 1089,减去刚才的1000,可不就是89吗?但是这里可能有人会问计算补码不还是得计算1000减368,没解决根本问题啊。但是在二进制里,计算起来就方便多了(二进制真是化简为繁的重大发现)。其实对于一个只能计算三位数的计算机来讲,负368计算补码的正确方式999-368+1。因为三位数的计算机表示不了1000。对于二进制来讲,那就是先取反,再加一,取反用非门就可以搞定了。计算机里有符号数用高位表示符号,1是负数,0是正数,所以-1在计算机里用二进制的表示应该是1 1 1 1 1 1 1 1,对应的无符号数是255。

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乘法

乘法怎么算呢?同样我们先看下十进制乘法123 * 321是怎么计算的。

 

123 * 321 = 123 *(3 * 100 + 2 * 10 + 1)=  (123 * 3) * 100 + (123 * 2) * 10 + 123 = 36900 + 2460 + 123 = 39483。

 

这样就转化为乘法、左移和加法操作。有的同学可能又会问,123 * 3计算机怎么算?先别动手,我们还有二进制,最终的乘法其实已经被简化为被乘数乘以10以内的数,在二进制里,那就是被乘数乘以2以内的数,2以内的数只有0和1,是不是就简单多了。我们看下11 * 12的二进制数相乘的计算过程。

 

1011 * 1100 = 1011 * 0 + 10110(1011左移一位)* 0 + 101100(1011左移两位)* 1 + 1011000(1011左移三位)* 1 。这下是不是简单多了,不是乘以0就是乘以1,最后通过加法器相加就好了。

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除法

 

乘法搞定了,就差除法了,除法怎么算呢?老规矩,我们先看下10进制123除以4的计算方法。

 

123 最高位1,比4小,结果是0,余数是1;

12上一步的余数1左移1位是10,加上2是12,12除以4等于3,余数是0;

12最后一位是3,比4小,结果是0,余数是3。

所以结果是30,余数是3。

没毛病,让我们看下二进制计算的过程。

 

1 1 1 0 1 1 中的1 比 100小,结果是0,余数是1。

1 1 1 1 0 1 1 上一步中的余数1左移1位,加上1是11,比100小,结果是0,余数是11。

1 1 1 1 0 1 1 上一步中的余数11左移1位,加上1是111,比100大,结果是1,余数是11。

1 1 1 1 0 1 1 上一步中的余数11左移1位,加上1是111,比100大,结果是1,余数是11。

1 1 1 1 0 1 1 上一步中的余数11左移1位,加上0是110,比100大,结果是1,余数是10。

1 1 1 1 0 1 1 上一步中的余数10左移1位,加上1是101,比100大,结果是1,余数是1。

1 1 1 1 0 1 1 上一步中的余数1左移1位,加上1是11,比100小,结果是0,余数是11。

 

所以结果是0011110(十进制30),余数是11(十进制数3)。

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总结

 

加法是计算机中最基本的操作,我们已经有了加法器,计算加法毫无压力。减法则通过补码,巧妙的转化成了加法的运算。而乘法是通过左移和加法完成的,除法则是通过左移和减法完成的。我们通过加法器以及移位器就能完成基本的加减乘除算术运算。但是这样只能完成两个数的操作,如果想完成三个数的操作怎么办呢?总不能计算两个数,人工记录下来结果,然后再与第三个数相加吧,这就需要另外一个东西-寄存器了,有了寄存器,计算机就可以暂存一些中间结果,持续的执行代码进行计算了。下篇文章,给大家分享一下通过电路怎么记录数据。

本篇文章来源于微信公众号: 搞点儿啥

最后修改日期:2019年12月4日

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